社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その３７
「社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その３６」で導いた位相図から得られるこの二つの定常状態の比較をしてみます。
（赤字は指数です。）
資本と政府債券の価格であるバブルについては既に示しました。
Ｓ点の資本ｋは、黄金律の水準でα１／（１－α）バブルは{１／（２α）×（１－３α）}{α１／（１－α）}でした。資本減耗の実物資本の収益率は０でした。
また、Ｔ点の資本ｋは、ｋ＝｛（１－α）／２｝｛１／（１－α）｝バブルｐはｐ＝０でした。
後は、粗生産、賃金、資本の収益率、貯蓄、実物資本の粗投資、そして効用です。効用はＳ点の方が高いはずです。
生産
（２．５３）式で表される粗生産関数に、ｌ＝１を代入して一人当たりの粗生産量ｙを求めます。
Ｓ点
ｙ＝｛α１／（１－α）｝α
＝αα／（１－α）＞０
Ｔ点
ｙ＝〔｛（１－α）／２｝１／（１－α）〕α
＝｛（１－α）／２｝α／（１－α）＞０
Ｓ点とＴ点の差
Ｔ点の方がＳ点よりも資本が大きいのですから、粗生産関数から明らかなとおり、Ｔ点の方が粗生産量は大きくなります。式で証明をしておきます。Ｔ点の生産量からＳ点の生産量を差しくと次のようになります。
｛（１－α）／２｝α／（１－α）－αα／（１－α）
第1項と第2項の指数は共通ですから、底の大小によって、正負が決まります。どちらの底が大きいかを比べてみます。（１－α）／２－α＝（１－３α）／２です。このモデルではα＜１／３ですから、（１－３α）／２＞０です。つまり、第1項の底の方が大きいのです。したがって、｛（１－α）／２｝α／（１－α）－αα／（１－α）＞０です。これは、Ｔ点の生産量の方がＳ点の生産量よりも大きいことを意味します。
なお、純生産は粗生産から資本減耗を差し引いたものですが、資本減耗率は１００％つまり生産を行うと資本はすべて失われると仮定されていますので、純生産は次のようになります。
Ｓ点
ｙｎ＝αα／（１－α）－α１／（１－α）
Ｔ点
ｙｎ＝｛（１－α）／２｝α／（１－α）－｛（１－α）／２｝１／（１－α）
なお、α／（１－α）－１／（１－α）＝－１ですから、Ｓ点のα、Ｔ点の（１－α）／２への指数は第1項の方が小さいことが分かります。α、（１－α）／２は、いずれも1より小さい数字なので、純生産量は正です。Ｔ点では資本が過剰であり、資本減耗が大きいのですが、粗生産のすべてが資本減耗に充てられるのではありません。
Ｓ点とＴ点の差
Ｔ点の方がＳ点よりも粗生産量、資本ともに大きいのです。資本の減耗率は１００％なので生産に使われた資本＝資本減耗です。したがって、どちらの点で純生産量が大きいかを考える必要があります。
Ｔ点の資本とＳ点の資本の差をＸとします。資本の減耗率は１００％であること、Ｓ点での資本は黄金律の水準にあることをあわせ考えるとＳ点での資本の限界粗生産性は１です。また、粗生産関数は資本について収穫逓減です。したがって、Ｓ点からＴ点まで資本をＸ増やしたときの粗生産の増加量はＸ未満です。これに対して資本減耗の増加は資本の増加に等しく、Ｘです。したがって、Ｓ点の方が純生産量は大きくなります。
賃金
（2．54）式に、ｌ＝１を代入して求めます。
Ｓ点
ｗ＝（１－α）｛α１／（１－α）｝α
＝（１－α）αα／（１－α）＞０
Ｔ点
ｗ＝（１－α）〔｛（１－α）／２｝１／（１－α）〕α
＝（１－α）｛（１－α）／２｝α／（１－α）＞０
Ｓ点とＴ点の差
Ｔ点の方がＳ点よりも資本が大きいのですから、粗生産関数から明らかなとおり、Ｔ点の方が賃金は大きくなります。式による証明は粗生産量の場合と同じです。
実物資本の収益率（2．55）式に、ｌ＝１を代入して求めます。
Ｓ点
ｒ＝α｛α１／（１－α）｝α－１－１
＝αα－１－１
＝１－１
＝０
これは、Ｓ点での資本が黄金律の水準にあることから期待されたとおりの結果です。Δｐ＝０の垂直線を求めるために、実物資本の収益率と政府債券のキャピタルゲインの裁定式を用いました。Ｓ点は定常点ですからキャピタルゲインは0，従って、実物資本の収益率もゼロです。
Ｔ点
ｒ＝α〔｛（１－α）／２｝１／（１－α）〕α―１－１
＝α｛（１－α）／２｝－１－１
＝２α／（１－α）－（１－α）／（１－α）
＝（３α－１）／（１－α）
Ｔ点では実物資産の収益率は、このモデルで想定されているα＜１／３の範囲では負です。Δｐ＝０の水平を求めるためには、実物資本の収益率と政府債券のキャピタルゲインの裁定式を用いていませんので、このような結果になります。この結果によってＴ点では資本が過剰になっていること（動学的に非効率であること）が明確に表されています。
若年期の貯蓄（＝若年期の消費）
（2．54）式に、ｌ＝１を代入して求めます。
Ｓ点
ｓ＝１／２×（１－α）｛α１／（１－α）｝α
＝１／２×（１－α）αα／（１－α）＞０
Ｔ点
ｓ＝1／2×（１－α）〔｛（１－α）／２｝１／（１－α）〕α
＝１／２×（１－α）｛（１－α）／２｝α／（１－α）
＝｛（１－α）／２｝１／（１－α）＞０
若年期の貯蓄は若年期の賃金の半分なので、Ｔ点の方が若年期の消費は大きくなります。
なお、老年期には働かず、貯蓄もしません。
消費
Ｓ点とＴ点を厚生のレベルで評価するためにはそれぞれの効用を比較しなければなりません。効用は若年期の消費と老年期の消費により決まりますので、あらかじめ若年期の消費と老年期の消費を調べておかなければなりません。
このモデルでは若年期の消費は賃金－貯蓄です。そして、先に説明したように若年期の貯蓄は若年期にだけ得られる賃金の半分ですから、若年期の消費も賃金の半分で、貯蓄と同額です。老年期の消費は若年期の貯蓄に１＋実物資産の収益率＋１を掛けたものです。
以上についてはＳ点でもＴ点でも共通です。資本の水準が違いますので、消費の水準には差があります。
若年期の消費は貯蓄と等しいので、
Ｓ点では、１／２×（１－α）αα／（１－α）＞０、
Ｔ点では、｛（１－α）／２｝１／（１－α）＞０
です。若年期の消費も、貯蓄と同様に賃金の半分なので、Ｔ点の方が若年期の消費は大きくなります。
Ｓ点では、実物資産の収益率はゼロですから、老年期の消費は若年期の消費と等しく、
１／２×（１－α）｛α１／（１－α）｝α＝１／２×（１－α）αα／（１－α）＞０
です。
Ｔ点の実物資本の収益率は（３α－１）／（１－α）＜０でした。若年期の消費は｛（１－α）／２｝１／（１－α）ですから、Ｔ点での老年期の消費は、これに１＋実物資本の収益率を掛けて
｛（１－α）／２｝１／（１－α）×２α／（１－α）
です。
効用
効用は（２．５０）式に消費水準を代入して、求められます。資本が黄金律の水準にあるＳ点の方が効用が高いはずです。
Ｓ点の効用は次の通りです。
ｌｎ１／２×（１－α）αα／（１－α）＋ｌｎ１／２×（１－α）αα／（１－α）
＝ｌｎ（１／２）＋ｌｎ｛（１－α）αα／（１－α）｝＋ｌｎ（１／２）＋ｌｎ｛（１－α）αα／（１－α）｝
＝２ｌｎ（１／２）＋２ｌｎ（１－α）＋２ｌｎ｛αα／（１－α）｝
＝２ｌｎ（１／２）＋２ｌｎ（１－α）＋（２α）／（１－α）ｌｎα・・・・〔１〕
Ｔ点の効用は次の通りです。
ｌｎ｛（１－α）／２｝１／（１－α）＋ｌｎ〔｛（１－α）／２｝１／（１－α）×（２α）／（１－α）〕
＝｛１／（１－α）｝ｌｎ｛（１－α）／２｝
＋｛１／（１－α）｝ｌｎ｛（１－α）／２｝＋ｌｎ（２α）／（１－α）
＝２｛１／（１－α）｝ｌｎ｛（１－α）／２｝＋ｌｎ（２α）／（１－α）
＝２｛１／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）－ｌｎ（１／２）｝＋ｌｎ（２α）－ｌｎ（１－α）
＝２｛１／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）｝－２｛１／（１－α）｝｛ｌｎ（１／２）｝＋ｌｎ（２α）－ｌｎ（１－α）
＝｛２－（１－α）｝／（１－α）｛ｌｎ（１－α）｝－２｛１／（１－α）｝ｌｎ（１／２）＋ｌｎ（２α）
＝（１＋α）／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）｝－｛２／（１－α）｝｛ｌｎ１／２｝－ｌｎ（１／２）＋ｌｎα
＝（１＋α）／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）｝－〔｛２－（１－α）｝／（１－α）〕｛ｌｎ１／２｝－ｌｎ（１／２）＋ｌｎα
＝｛（１＋α）／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）｝－（１＋α）／（１－α）｛ｌｎ１／２｝＋ｌｎα・・・・〔２〕
Ｓ点とＴ点の効用を比較するために〔1〕式から〔2〕式を引きます。ｌｎ（１／２）、ｌｎ（１－α）、ｌｎαごとに整理すると、次のようになります。
｛２＋（１＋α）／（１－α）｝ｌｎ（１／２）＋〔２－｛（１＋α）／（１－α）｝〕ｌｎ（１－α）＋｛（２α）／（１－α）－１｝ｌｎα
＝｛（３－α）／（１－α）｝ｌｎ（１／２）＋｛（１－３α）／（１－α）｝ｌｎ（１－α）＋｛（３α－１）／（１－α）｝ｌｎα
＝｛（３－α）／（１－α）｝ｌｎ（１／２）＋｛（１－３α）／（１－α）｝｛ｌｎ（１－α）－ｌｎα｝・・・・〔３〕
１／３＞α＞０を考慮すると、〔３〕式の第1項は正です。
同様に第2項の｛（１－３α）／（１－α）｝も正です。そして、同じ理由からｌｎ（１－α）＞ｌｎαですから、第2項の｛ｌｎ（１－α）－ｌｎα｝も正です。したがって、第2項も正です。
つまり、〔３〕式は正です。これは、Ｓ点の効用の方がＴ点の効用よりも大きいことを示します。
若年期の消費はＴ点の方が大きいのですが、資本の過剰蓄積の結果、実物資産の収益率が－になっているため老年期の消費は小さくなります。このため、効用が低くなるのです。
資本の定常
このモデルでは貯蓄が実物資本への投資とバブルに向けられ、Ｓ点、Ｔ点は定常ですから、この実物投資が資本減耗と等しくなっているはずです。最後に、これを確認しておきましょう。資本減耗率が100％なので資本減耗＝資本です。
Ｓ点の貯蓄は、１／２×（１－α）αα／（１－α）、バブルは{１／（２α）×（１－３α）}{α１／（１－α）}でした。両者の差が実物投資です。これは資本減耗＝資本＝α１／（１－α）と等しいでしょうか？
｛１／２×（１－α）αα／（１－α）｝－{１／（２α）×（１－３α）}{α１／（１－α）}
＝｛１／（２α）×（１－α）α１／（１－α）｝－{１／（２α）×（１－３α）}{α１／（１－α）}
＝｛１／（２α）×α１／（１－α）｝｛（１－α）－（１－３α）｝
＝｛１／（２α）×α１／（１－α）｝（２α）
＝α１／（１－α）
等しくなっています。Ｓ点では資本は一定です。
Ｔ点での貯蓄は｛（１－α）／２｝１／（１－α）で、バブルはゼロですから、貯蓄がそのまま実物投資になります。これは、資本｛（１－α）／２｝１／（１－α）と一致します。Ｔ点でも資本は一定です。
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