社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その１７
今回からは、「２．２．９ 動学的な経路の導出：位相図を用いて」です。
今回は、基礎的な部分を説明します。くどいかもしれませんが、基礎を固めておくことは、特に社会人にとっては有益だろうと思います。
具体的には図２．２のグラフに描かれているΔｋ＝０線と図２．３に描かれているΔｃ＝０線の位置と形の説明、そしてこの二つの線が１点で交わることです。
あまりにも当然のことですので、テキストでは説明されていません。おのおのの背後にどのような仮定があるのかを確認しておいてください。
Ⅰ Δｋ＝０線
これは、「社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その１６」で説明した（２．３２）式を資本―消費平面上に描いたものです。なお、マイナスの資本、マイナスの消費というものはありませんので、この平面は第１象限（原点の右上の区画）しかありません。
後の議論に影響するこのグラフの特徴は、次の通りです。
１ 原点を通っている。
２ 一本の線である。つまりある水準の資本の水準、ｋ、に対して一つの消費水準ｃだけが対応している。
３ 連続している。どのような資本水準ｋにも対応する消費水準ｃが存在しているということです。（連続しているという場合には、ｋのわずかな変化に対してｃが急には変わらないということも含まれますが、これは、後の議論には影響しません。）
４ 上に凸である。
５ ある高い資本水準ｋで消費がゼロとなっている。（テキストにはありませんが、便宜上、この水準のことをｋｍａｘと呼ぶことにします。）
１ 原点を通っている。
（２．３２）式、ｃ＝ｆ（ｋ）－δｋで、ｋ＝０とすると、
ｃ＝ｆ（０）
です。資本がなければ生産はできないという稲田の条件、ｆ（０）＝０から、ｃ＝０です。ｋ＝０，ｃ＝０ですから原点を通ります。
２ 一本の線である。
（２．３２）式、ｃ＝ｆ（ｋ）－δｋで、資本ｋの値が決まれば、生産ｆ（ｋ）も、資本減耗も一つの値に決まりますから、ｃも一つの値に決まります。
３ 連続している。
ｃ＝ｆ（ｋ）－δｋで、ｆは連続している関数、δｋも連続する直線ですから、連続しています。ｋの値がが決まれば必ずｃの値が決まります。
４ 上に凸である。
ｃ＝ｆ（ｋ）－δｋをｋで微分すると、
ｄｃ／ｄｋ＝ｆ‘（ｋ）－δ
となります。
稲田の条件のｆ‘（０）＝∞から、資本水準がゼロのときはｄｃ／ｄｋですから、この曲線は右上がりになります。そして、仮定４にから限界生産性が逓減していくので、増加は緩やかになり、黄金律ｋｇの点でｆ’（ｋｇ）＝δですから、ｄｃ／ｄｋ＝ゼロ、つまり水平になります。さらに逓減していきますのでこの点以降右下がりになります。
５ ある高い資本水準ｋで消費がゼロとなっている。
４の説明に加えて、ｆ’（ｋｇ）＝δと稲田の条件、ｆ‘（∞）＝０を考慮すると、ｋが増加するにつれてｆ（ｋ）の増加幅は小さくなっていき、最後にはゼロになります。一方δは一定ですからδｋはｋの増加とともに一定に割合で増え続けます。ｋがｋｇと∞の中間のどこかでｆ（ｋ）がδｋと等しくなり、ｃ＝０となります。このときのｋの水準がｋｍａｘです。
０＝ｆ（ｋｍａｘ）－δｋｍａｘ
Ⅱ Δｃ＝０線
これも、「」で説明した（２．３３）式を資本―消費平面上に描いたものです。
後の議論に影響するこのグラフの特徴は、次の通りです。
１ 一本の垂直線である。つまりただ一つの資本水準ｋに対して無限の消費水準ｃが対応している。
２ この資本水準は、修正された黄金律、ｋｍである。
１ 一本の垂直線である。
（２．３３）式 ｆ‘（ｋ）＝ρ＋δで、ρもδも定数です。従って、消費の水準にかかわらずｋは一定です。これを資本―消費平面に描けば、垂直線となります。また、限界生産性が逓減しているのでこの条件を満たす資本の水準はただ一つです。（もし、限界生産性が減少、増加を繰り返すとｆ‘（ｋ）＝ρ＋δとなるｋが二つ以上できる可能性、つまり２本以上の垂直線になる可能性が出てきます。）
２ この資本水準は、修正された黄金律、ｋｍである。
これは、修正された黄金律の定義そのものです。
Ⅲ Δｋ＝０線とΔｃ＝０線がただ一つの交点を持つ。
Δｋ＝０線とΔｃ＝０線は同じ平面上にありますから、交点を持ち得ます。
ｋｍがゼロより小さいか、ｋｍａｘより大きいと二つの線は交わりませんが、稲田の条件ｆ‘（０）＝∞と、ｆ’‘＜０からｋｍはゼロより大きいことが分かります。
また、ｋｍａｘ＞ｋｇで、ｋｇ＞ｋｍですから、ｋｍａｘ＞ｋｍです。従って、二つの線は交点を持ちます。
Δｋ＝０線は、一つのｋの値に対し一つの値です。したがって、ｋ＝ｋｍの時のｃの値はただ一つです。従って、交点はただ一つです。
以上で図２．４（の矢印を除いた部分）が描かれることが確認できました。次回は矢印の説明に入る予定です。
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