社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その７
「社会人のための『新しいマクロ経済学』解説 その６」に続いて、今回は「２．１．３ 前向きの解と後ろ向きの解」の解説です。
ここでのテーマは（２．３）で表される完全予見のもとで、投資家が裁定行動を取ったとき市場で得られるｔ期の株価、これは（２．２）式で表される、はどうなるかを考えることです。なお、配当も正確に予想されてます。
このような条件の下でも、一つのファンダメンタルズ、前向きの解の他に、初期値に依存して後ろ向きの解が存在するというのがここでの眼目です。この後ろ向きの解を排除する仕組みは、配当も含めた完全予見や裁定行動にはありません。別の仕組みが必要です。
さて、テキストで「（２．６）式を順次（２．４）式に代入していくと、（２．７）式が得られる。」（ｐ．３３）と簡単に説明されているのですが、私はこの証明に手こずりました。
一応、証明方法を書いておきます。ひょっとすると斉藤先生の意図された照明方法ではないのかもしれませんし、もっと簡単な証明方法があるのかもしれません。
第１段階
まず、i=-tのときの（２．４）式を計算すると、
p(0)={p(1)+d(1)}/(1+r)
となります。
これを整理すると
p(1)=p(0)(1+r)-d(1) 〔１〕
が得られます。
同じように、以下の式が得られます。
p(2)=p(1)(1+r)-d(2) 〔２〕
p(3)=p(2)(1+r)-d(3) 〔３〕
これを、p(t)を得るまで続けます。
p(t)=p(t-1)(1+r)-d(t) 〔４〕
第２段階
ｔ＝0の時の（２．６）式を求めます。
ｐ(0)＝ｐｆ(0)＋ｂ(0) 〔５〕
第３段階
〔５〕を〔１〕の右辺に代入します。
p(1)={ｐｆ(0)＋ｂ(0)}×(1+r)-d(1)
これでp(1)を０期のファンダメンタルズ、ｐｆ(0)と０期のバブルｂ(0)と１期の配当d(1)で表すことが出来ました。
ここで、記憶しておいていただきたいことがあります。１期の価格の場合には、ｐｆ(0)と０期のバブルｂ(0)は、１プラス債券の利子率、(1+r)の１乗倍されています。そして１期の配当d(1)は、(1+r)の０＝１－１乗倍されています。
このp(1)を、再び〔２〕式の右辺に代入します。
p(2)=[{ｐｆ(0)＋ｂ(0)}×(1+r)-d(1)]×(1+r)-d(2)
p(2)も０期のファンダメンタルズ、ｐｆ(0)と０期のバブルｂ(0)と１期の配当d(1)、２期の配当d(2)で表すことが出来ました。２期の配当が加わっていることに気をつけてください。
２期の価格の場合には、ｐｆ(0)と０期のバブルｂ(0)は、１プラス債券の利子率、(1+r)の２乗倍されています。そして１期の配当d(1)は、(1+r)の１＝２－１乗倍されています。そして２期の配当d(1)は、(1+r)の０乗倍されています。
この操作を繰り返していくと、最後にp(t)を０期のファンダメンタルズ、ｐｆ(0)と０期のバブルｂ(0)と１期からｔ期までの配当d(1)、d(2)・・・・d(t)で表すことが出来ました。
具体的には次の式になります。（ｘ＾αは、ｘのα乗という意味です。）
p(t)=ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔ＋ｂ(0)×(1+r)＾ｔ-{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)} 〔６〕
第４段階
ここで、〔６〕式の{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}の経済的な意味を考えて見ましょう。
d(t)はｔ期の配当そのものです。
d(t-1)×(1+r)はｔ－１期の配当を１期債券の利子率で運用したものです。つまりｔ期まで運用したものです。
同様に考えていくと
d(1)×(1+r)＾(t-1)は１期の配当をｔ－１期債券の利子率で運用したものです。つまりｔ期まで運用したものです。
{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}は、これらを足しあげたものですから、１期からt期までの配当をt期まで債券の利子率で運用したときの価値です。
第５段階
次に、〔６〕式のｐｆ(0)×(1+r)＾ｔの経済的な意味を考えて見ましょう。
ｐｆ(0)は、０期のファンダメンタルズです。したがって、（２．５）式でｔ＝０の場合です。この式は１期から無限の将来にわたる配当を、債券の利子率で０期まで割り引いた現在価値です。
まず、最初にt期の配当について考えて見ます。０期まで割り引くためには１プラス債券の利子率でｔ回割る必要があります。したがって、ｐｆ(0)のこの項はd(t)/(1+r)^tという形になります。ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔのt期の配当の項はd(t)/(1+r)^tに(1+r)＾ｔを掛けたものですから、ｄ（ｔ）そのものです。
次に、遡って、t－１期の配当について、同じように考えて見ます。０期まで割り引くためには１プラス債券の利子率でｔ－１回割る必要があります。したがってこの項はd(t)/(1+r)^(t-1)という形になります。ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔのt期の配当の項はd(t-1)/(1+r)^(t-1)に(1+r)＾ｔを掛けたものですから、ｄ（ｔ-1）×(1+r)です。これはt－１期の配当を債券の利子率で１期運用したもの、つまりこの配当のt期における価値です。
これを繰り返すと、
ｄ（ｔ-2）×(1+r)^2
などが続き、最後に１期の配当についてはこうなります。
ｄ（1）×(1+r)^(t-1)
ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔの１期からt期までの配当に対応する項を合計すると、
{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}
となります。この経済的な意味を考えれば、１期からt期までの配当をt期まで債券の利子率で運用したときの価値です。つまり、第４段階で計算したものと同じです。
では、ｔ＋１期以降の配当の項についてはどうでしょうか？
まず、最初にt＋１期の配当について考えて見ます。０期まで割り引くためには１プラス債券の利子率でｔ＋１回割る必要があります。したがってこの項はd(t)/(1+r)^(t+1)という形になります。ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔのt+1期の配当の項はd(t+1)/(1+r)^(t+1)に(1+r)＾ｔを掛けたものですから、ｄ（ｔ+1）/(1+r)です。これはt＋１期の配当のt期の割引現在価値です。
ｔ＋２期以降の配当についても、同じように考えていくことができ、各期の配当のt期の割引現在価値です。
そして、これらを合計したものは、t期のファンダメンタルズです。つまり、ｐｆ（ｔ）です。
t期を含むt期以前の期の項とt期以後の項に分けて考え、それぞれをを足し合わせると、こうなります。
ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔ＝ｐｆ（ｔ）＋{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}
第７段階
以上をすべてまとめるとこうなります。
p(t)=ｐｆ(0)×(1+r)＾ｔ＋ｂ(0)×(1+r)＾ｔ-{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}
=ｐｆ（ｔ）＋{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}＋ｂ(0)×(1+r)＾ｔ-{d(t)+d(t-1)×(1+r)＋d(t-2)×(1+r)＾2+・・・・+d(2)×(1+r)＾(t-2)+d(1)×(1+r)＾(t-1)}
=ｐｆ（ｔ）＋ｂ(0)×(1+r)＾ｔ （２．７）
（緑の部分が相殺されます。）
人気ｂｌogランキングでは「社会科学」の２９位でした。今日も↓クリックをお願いします。
人気blogランキング
