１次同次の生産関数
定義
ある関数Ｆ（Ｘ、Ｙ）の独立変数をすべてｍ倍したとき、その関数の値がｍのｎ乗になれば、この関数はｎ次同次という。ｎ＝１の時、一次同次です。
Ｆが生産関数であるとき、Ｆは１次同次の生産関数です。
特徴
１次同次の生産関数は、いくつかの特徴を持っています。
生産関数を
Ｙ＝Ｆ（Ｋ、Ｌ） （１）
とします。
特徴１ 生産関数が１次同次であるとき、労働の平均生産物Ｙ／Ｌは、労働１単位当たりの資本Ｋ／Ｌのみの関数であり、資本の平均生産物Ｙ／Ｋは、資本１単位当たりの労働Ｌ／Ｋのみの関数である。
証明
Ｙ＝Ｆ（Ｋ、Ｌ）をＬで割る。
Ｙ／Ｌ＝Ｆ（Ｋ／Ｌ、Ｌ／Ｌ） （１次同次であるので）
＝Ｆ（Ｋ／Ｌ、１）
Ｆ（Ｋ／Ｌ、１）＝Ｇ（Ｋ／Ｌ）とすると、これは
Ｙ／Ｌ＝Ｇ（Ｋ／Ｌ） （２）
以下では、Ｙ／Ｌ≡ｙ、Ｋ／Ｌ≡ｋと表記します。
資本の平均生産物についても、全く同じです。
経済学的な意味
労働の平均生産物も、資本の平均生産物も、資本と労働の比率だけの関数であり、これが一定である限り、生産規模に関わらず不変です。
この経済学的な意味を次のように言い換えることもできます。
特徴２
生産関数が１次同次であるとき、労働の平均生産物Ｙ／Ｌ資本の平均生産物Ｙ／Ｋは、資本Ｋ、労働Ｌのみの関数であり、この関数はゼロ次同次です。
証明
Ｙ／Ｌ＝Ｈ（Ｋ、Ｌ）とし、資本Ｋ、労働Ｌをｍ倍します。
Ｙ／Ｌ＝Ｈ（ｍＫ、ｍＬ）
＝Ｇ（ｍＫ／ｍＬ）
＝Ｇ（Ｋ／Ｌ）
＝ｍ＾０×Ｈ（Ｋ、Ｌ）
資本の平均生産物についても、全く同様に証明できます。
特徴３
生産関数が１次同次であるとき、労働の限界生産物ｄＹ／ｄＬ、資本の限界生産物ｄＹ／ｄＫは、資本Ｋ、労働Ｌのみの関数であり、この関数はゼロ次同次です。
ｄは、偏微分記号です。
証明
次ぎの二つ（３）と（４）が成り立つのを利用します。
ｄｋ／ｄＫ＝ｄＫＬ＾－１／ｄＫ
＝Ｌ＾－１
＝１／Ｌ （３）
ｄｋ／ｄＬ＝ｄＫＬ＾－１／ｄＬ
＝－１×ＫＬ＾－２
＝－Ｋ／（Ｌ＾２） （４）
資本の限界生産物については、こうです。
ｄＹ／ｄＫ
＝ｄＬ×（Ｙ／Ｌ）／ｄＫ
＝Ｌ×ｄ（Ｙ／Ｌ）／ｄＫ
＝Ｌ×ｄＧ（Ｋ／Ｌ）／ｄＫ （２）式から
＝Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄＫ
＝Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ×ｄｋ／ｄＫ
＝Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ×１／Ｌ （３）式から
＝ｄＧ（ｋ）／ｄｋ （５）
このように資本の限界生産物はｋのみの関数です。
労働の限界生産物については、こうです。
ｄＹ／ｄＬ
＝ｄＬ×（Ｙ／Ｌ）／ｄＬ
＝Ｙ／Ｌ＋Ｌ×ｄ（Ｙ／Ｌ）／ｄＬ
＝Ｇ（Ｋ／Ｌ）＋Ｌ×ｄ（Ｙ／Ｌ）／ｄＬ （２）式から
＝Ｇ（Ｋ／Ｌ）＋Ｌ×ｄＧ（Ｋ／Ｌ）／ｄＬ
＝Ｇ（ｋ）＋Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄＬ
＝Ｇ（ｋ）＋Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ×ｄｋ／ｄＬ
＝Ｇ（ｋ）＋Ｌ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ×｛－Ｋ／（Ｌ＾２）｝ （４）式から
＝Ｇ（ｋ）＋ｄＧ（ｋ）／ｄｋ×（－Ｋ／Ｌ）
＝Ｇ（ｋ）－ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ （６）
労働の限界生産物もｋのみの関数です。
特徴４（オイラーの定理）
資本と労働に対して、その限界生産物が支払われていれば、生産物はすべて資本と労働に分配され、過不足を生じない。（超過利潤は発生しない。）
Ｋ×ｄＹ／ｄＫ＋Ｌ×ｄＹ／ｄＬ
＝｛Ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝＋［Ｌ×｛Ｇ（ｋ）－ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝］ （５）、（６）式から
＝｛Ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝＋｛Ｌ×｛Ｇ（ｋ）｝－Ｌ×ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝］
＝｛Ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝＋｛Ｌ×｛Ｇ（ｋ）｝－Ｋ×ｄＧ（ｋ）／ｄｋ｝］
＝Ｌ×Ｇ（ｋ）
＝Ｙ （２）式から
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