不平等、格差の分析手法 対数標準偏差 シュロックス分解
対数標準偏差（Mean Log Deviation : MLD）による不平等の要因分解
１ 対数標準偏差の定義
いま、n個の主体(例えば家計)があるとします。個々の主体の所得（他のもの、例えば、賃金、資産でも同じです。）この所得が、y1,y2,・・・・・ykであるとします。また、その所得の平均がμ、分散がσの２乗とします。この場合、対数標準偏差（Mean Log Deviation : MLD）は、次のように定義されます。
MLD≡(1/n)Σln(μ/yi)・・・（１）
ここでΣはi=1～nの合計。
主体間で所得に格差がなければ、すべてのiについてμ＝yiです。このとき、すべてのiについてln(μ/yi)＝ln１＝０です。すると、Σln(μ/yi) ＝０です。したがって、 MLD＝０です。
２ MLDによる格差の分解
MLDを利用すると、母集団をいくつかのグループに分けた場合、母集団の格差をグループ内の格差とグループ間の格差に分解し尽くすことができます。この分解し尽くせるのがMLDの長所です。
母集団をｋ個のグループに分割します。この場合、各グループには少なくとも１つの主体が所属しているとします。
Njをグループjに属する主体の数とします。すべてのjについて、nj≠０です。
また、ｙijをグループjに属する主体iの収入とします。さらに、μjをグループjの平均収入とします。
次の式が成立します。
Σnj＝ｎ・・・（２）
Σ（nj×μj）＝∑ｎμ・・・（３）
MLDの定義にしたがって、各グループの対数標準偏差を次のように計算することができます。
MLDj＝(1/n)Σln(μj/yij) ・・・（４）
また、グループjの主体の数が全体に占める割合vjは、次のように計算されます
vj＝nj/n・・・（５）
次の式が成立します。
MLD=Σvjln(μ/μj)＋ΣvjMLDj
ここでΣはj=1～kの合計。
この式は、「母集団をいくつかのグループに分けた場合、母集団の格差をグループ内の格差とグループ間の格差に分解し尽く」されることを示すものです。
（証明）
MLD≡(1/n)Σln(μ/yi) （Σはi=1～nの合計）
=(1/n) Σ（lnμ－lnyi） （ln(x/y)＝lnx－ lnyであるので)
=(1/n) Σ（lnμ）－(1/n) Σ（lnyi）
＝(n/n)(lnμ)－(1/n) Σ（lnyi） （第１項は平均μをｎ回足したものなので）
=(Σnj/n)(lnμ)－(1/n) Σ（lnyi）・・・（６） （（２）式を第１項に代入）
（（６）式の第２項はすべての主体の収入の対数を足したものです。これを、ｋ個のグループに属する主体ごとに区分して、それを足し上げても結果は変わらないので。）
=(Σnj/n)(lnμ)－(1/n) Σ（∑lnyij）・・・（７）
（７）式のを∑は第１グループから第ｋグループまでの合計です。このうちＪ＝ｍ≦ｋである第ｍグループに関する項を取り出すと次のようになります。
(nm/n)(lnμ)－(1/n) Σ（lnyiｍ）
＝(nm/n)(lnμ)－(nm/n) (1/nm) Σ（lnyiｍ） （nm ≠０なので、1/n ＝(nm/n) (1/nm)）
＝(nm/n){(lnμ)－ (1/nm) Σ（lnyiｍ）}・・・（８）
ここで、Σは第ｍグループに属する主体iｍについての合計です。
（８）の{}内にこのグループの平均収入μjの対数を足し、そして引きます。結果は（８）式と同じですから。）
(nm/n){(lnμ)－ (1/nm) Σ（lnyiｍ）}
＝(nm/n){(lnμ)－ (1/nm) Σ（lnyiｍ）＋lnμｍ－lnμｍ}
＝(nm/n)〔{(lnμ) －lnμｍ}＋{lnμｍ－(1/nm) Σ（lnyiｍ）}〕 （項を並べ替えます。）
＝(nm/n)〔(lnμ/μm)＋{lnμm－(1/nm) Σ（lnyim）}〕 （lny－lnx=ln(y/x)なので。）
＝(nm/n)〔(lnμ/μm)＋(1/nm){nmlnμm－Σ（lnyim）}〕
nmlnμｍはグループｍに属する主体の数nmにこのグループの平均所得を掛けたものです。Σ（lnyiｍ）グループｍに属する主体一つ一つの所得の対数を足したものなのでlny1ｍ, lny2ｍ・・・とグループｍに属する主体の数nm個の項を足したもの。足し算の形にすると、両者の項の数は同じです。lnμｍ－lnyim＝ln(μm/yim)ですから、
＝(nm/n)〔(lnμ/μｍ)＋(1/nm)∑ln(μｍ/yiｍ)〕
＝(nm/n)(lnμ/μｍ)＋(nm/n) (1/nm)∑ln(μｍ/yiｍ)・・・（９）
（９）式の第２項のアンダーライン部分は第mグループの収入の対数標準偏差MLDmです。
すると、次のようになります。
＝(nm/n)(lnμ/μｍ)＋(nm/n) MLDm
この式の第１項のμ/μｍはグループｍの平均所得μｍで全体の平均所得μで割ったものです。これはこのグループの平均所得が全体の平均所得からどの程度、離れているかの指標です。
すべての項に第m項と同じ操作を加えます。
すると、全体の対数標準偏差（MLD）は、各グループの平均所得が全体の平均所得からどの程度離れているかを示す項をおのおののグループの主体の数で加重平均したものと、各グループの収入の対数標準偏差をおのおののグループの主体の数で加重平均したものとの和として次のように表されます。
MLD＝∑vj(lnμ/μj)＋∑vj MLDj ・・・（１０）
ここでΣはj=1～kの合計。 （証明終わり。）
３ MLDによる格差の時系列変化の分解
ｔ期とｔ＋１期の全体の対数標準偏差（MLD）の変化を分解することを考えます。
（１０）式から
MLDｔ＝∑(nj/nｔ)(lnμ/μjｔ)＋∑(nj/nｔ) MLDjｔ・・・（１１）
MLDｔ＋１＝∑(nj/nｔ＋１)(lnμ/μjｔ＋１)＋∑(nj/nｔ＋１) MLDjｔ＋１・・・（１２）
となります。
簡略化のため、次のように定義します。
全体の対数標準偏差（MLD）の変化
ΔMLD≡MLDｔ＋１－MLDｔ・・・（１０）
あるグループｍの対数標準偏差（MLD）の変化
ΔMLDｍ≡(MLDｍｔ＋１－MLDｍｔ)/2・・・（１１）
あるグループｍの対数標準偏差（MLD）の平均
avMLDｍ≡(MLDｍｔ＋１＋MLDｍｔ)/2・・・（１２）
あるグループｍの平均所得の全体の平均所得との比の対数の変化
Δlnμ/μｍ≡lnμ/μｍｔ＋１－lnμ/μｍｔ・・・（１３）
あるグループｍのの平均所得の全体の平均所得との比の対数の平均
avlnμ/μｍ≡(lnμ/μｍｔ＋１＋lnμ/μｍｔ)/2・・・（１３）
あるグループｍに属する主体の全体に占める割合の変化
Δnm/n≡nm/nｔ＋１－nm/nｔ・・・（１４）
あるグループｍに属する主体の全体に占める割合の平均
avlnnm/n≡(nm/nｔ＋１＋nm/nｔ)/2・・・（１５）
「全体の対数標準偏差（MLD）の変化（１０）」を「各グループの対数標準偏差（MLDｍ）の変化（１１）」による部分、「各グループの平均所得の全体の平均所得との比の対数の変化（１３）」による部分、そして「各グループに属する主体の全体に占める割合の変化（１４）」による部分に分解するのが目的です。
このために、次の恒等式を利用します。
ＡＹ－ＢＸ≡（Ａ＋Ｂ）／２×（Ｘ－Ｙ）－（Ａ－Ｂ）／２×（Ｘ＋Ｙ）・・・（１６）
（１０）、（１１）、（１２）式から、次の式が得られます。
ΔMLD≡MLDｔ＋１－MLDｔ
＝〔∑(nj/nｔ＋１)(lnμ/μjｔ＋１)＋∑(nj/nｔ＋１) MLDjｔ＋１〕－〔∑(nj/nｔ)(ln
μ/μjｔ)＋∑(nj/nｔ) MLDjｔ〕・・・（１７）
（１７）式の項を並べ替え、平均所得の比の項とMLDjの項にまとめると、次のようになります。
＝〔∑(nj/nｔ＋１)(lnμ/μjｔ＋１)－∑(nj/nｔ)(lnμ/μjｔ)〕＋〔∑(nj/nｔ＋１) MLDjｔ＋１〕－∑(nj/nｔ) MLDjｔ〕・・・（１８）
この式からグループｍに関する項を取り出すと、次のようなものです。
〔(nm/nｔ＋１)(lnμ/μmｔ＋１)－(nm/nｔ)(lnμ/μmｔ)〕＋〔(nm/nｔ＋１) MLDmｔ＋１〕－(nm/nｔ) MLDmｔ〕・・・（１９）
この式の二つの項は、それぞれ、ちょうどＡＹ－ＢＸの形をしています。そこで、（１６）式を利用して整理します。
第１項は、次のように変形できます。
〔(nm/nｔ＋１)+(nm/nｔ)〕/2×〔 (lnμ/μmｔ＋１)－ (lnμ/μmｔ)〕＋
〔(nm/nｔ＋１) －(nm/nｔ) 〕/2 ×〔(lnμ/μmｔ＋１)＋ (lnμ/μmｔ)〕
＝avnm/n×Δlnμ/μm＋ 〔Δnm/n〕/2 ×(avμ/μm)×２
＝avnm/n×Δlnμ/μm＋ Δnm/n ×avμ/μm・・・（２０）
第２項は、次のように変形できます。
〔(nm/nｔ＋１)＋(nm/nｔ)〕/2×〔MLDmｔ＋１－MLDmｔ〕
＋〔(nm/nｔ＋１)－(nm/nｔ) 〕/2×〔MLDmｔ＋１＋ MLDmｔ〕
＝avnm/n×ΔMLDm
＋Δnm/n/2×avMLDm×２
＝avnm/n×ΔMLDｍ＋Δnm/n×avMLDm・・・（２１）
（１９）式は（２０）式と（２１）式を足したものですから、（１８）式のグループｍに関する項は、次の式になります。
avnm/n×Δlnμ/μm＋ Δnm/n ×avμ/μm＋avnm/n×ΔMLDｍ＋Δnm/n×avMLDm・・・（２２）
（２２）式はすべてのグループj （j=1～k）について成立します。
（１８）式は（２２）式をすべてのグループj （j=1～k）について合計したものです。したがって、次の式が成立します。
ΔMLD＝Σavnj/n×Δlnμ/μm＋ ΣΔnj/n ×avμ/μj＋Σavnj/n×ΔMLDj＋ΣΔnj/n×avMLDj
＝Σavnj/n×Δlnμ/μm＋Σavnj/n×ΔMLDj+ ΣΔnj/n ×avμ/μj＋ΣΔnj/n×avMLDj
＝Σavnj/n×ΔMLDj+Σavnj/n×Δlnμ/μm＋ (avμ/μj＋avMLDj) ×ΣΔnj/n・・・（２３）
（２３）式の第１項は「各グループの対数標準偏差（MLDｍ）の変化（１１）」による部分、第２項は「各グループの平均所得の全体の平均所得との比の対数の変化（１３）」による部分、そして第３項は「各グループに属する主体の全体に占める割合の変化（１４）」による部分です。
このように全体の対数標準偏差（MLD）の変化を、この３つの部分に分解し尽くすことができます。
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